1) a)
La base de la pyramide régulière SABCD est le carré ABCD. Donc, le triangle ABC est rectangle en B.
Or, d’après le théorème de Pythagore, on a :
AC² = AB² + BC².
D’où : AC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
Or AC > 0.
Donc, AC = Racine carré de 72 = racine carré de 36 × 2 = 6 racine carré de 2 cm.
La hauteur [SH] de la pyramide régulière SABCD passe par le centre de sa base. Donc, le point H est le centre du carré ABCD.
Par suite, le point H est le milieu de la diagonale [AC].
Donc,AH = AC/2= 6 racine carré de 2 / 2 = 3 racine carré de 2 cm
b)
Le triangle SAH est rectangle en H. Or, d’après le théorème de Pythagore, on a :
SA² = SH² + AH².
D’où : SA² = 8² + (32)2 = 64 + 9 × 2 = 64 + 18 = 82.
Or, SA > 0. Donc, SA = racine carré de 82 cm.
2) a)
La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que le polygone de base. Donc MNOP est un carré.
b)
SMNOP est une pyramide régulière, réduction de la pyramide SABCD.
c)
Le rapport de réduction est : SI/SH = 6/8 = 3/4.
MN = 3/4×AB = 3/4 ×6 = 4,5 cm.
SM = 3/4×SA = 3/4× racine carré de 82 = 3 racine carré de 82 / 4 cm.
