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Démontrez que pour tout entier [tex]n \geq 1[/tex] :

[tex] cos^{(n)}(x) = cos(x+n \frac{\pi}{2})[/tex]

où cos(n) désigne la dérivée nième de la fonction cosinus.

Sagot :

Par récurence, pour n=0 c'est évident.

 

On par de [tex]\cos^{(n+1)}(x)=(\cos^{(n)}(x) )^{\prime} = \cos(x+n {\pi \over 2})^\prime= -\sin(x+n {\pi \over 2})=\cos(x+n {\pi \over 2})+{\pi \over 2})[/tex]

 

-> trop dur le tex. Bref c'est un récurence avec une proprieté de trigo -sin(x)=cos(x+pi/2)

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